数域K上的对合矩阵一定可对角化；并且写出它的相似标准形．请帮忙给出正确答案和分析 谢谢！

正确答案：因为A²=I故A的秩为nA可逆．设λ₀是A的一个特征值则有Kⁿ中非零向量a使Aa=λ₀α两边左乘A有A²α=λ₀Aα=λ₀²α即Iα=λ₀²α即(λ₀²—1)α=0因为α≠0所以λ₀²—1=0即λ₀=±1即A的特征值为±1．当特征值为1时(I一A)X=0的解空间的维数n一rank(I—A)当特征值为一1时(一I一A)X=0的解空间的维数n—rank(I+A)因为 A²=I所以 (A—I)(A+D=0于是 rank(A—I)+rank(A+I)≤n． ①又因为rank((A—I)一(A+I))≤rank(A—I)+rank(A+I)即 rank(一2I)≤rank(A—I)+rank(A+I)即 n≤rank(A—I)+rank(A+I) ②结合①、②得：rank(A—I)+rank(A+I)=n．设rank(A+I)=r则rank(A一I)=n一r．综上所述A的属于不同特征值的特征子空间的维数之和等于n—rank(I—A)+n一rank(A+I)=n因此A可对角化A的相似标准型中特征值为1在主对角线上出现的次数等于相应的特征子空间的维数r.A的相似对角阵为
因为A2=I,故A的秩为n,A可逆．设λ0是A的一个特征值,则有Kn中非零向量a,使Aa=λ0α,两边左乘A,有A2α=λ0Aα=λ02α,即Iα=λ02α,即(λ02—1)α=0,因为α≠0,所以λ02—1=0,即λ0=±1,即A的特征值为±1．当特征值为1时,(I一A)X=0的解空间的维数n一rank(I—A)当特征值为一1时,(一I一A)X=0的解空间的维数n—rank(I+A)因为A2=I,所以(A—I)(A+D=0,于是rank(A—I)+rank(A+I)≤n．①又因为rank((A—I)一(A+I))≤rank(A—I)+rank(A+I),即rank(一2I)≤rank(A—I)+rank(A+I),即n≤rank(A—I)+rank(A+I),②结合①、②得：rank(A—I)+rank(A+I)=n．设rank(A+I)=r,则rank(A一I)=n一r．综上所述,A的属于不同特征值的特征子空间的维数之和等于n—rank(I—A)+n一rank(A+I)=n因此A可对角化,A的相似标准型中,特征值为1在主对角线上出现的次数等于相应的特征子空间的维数r.A的相似对角阵为