设A是数域K上的n级矩阵．证明：如果Kn中任意非零列向量都是A的特征向量 则A一定是数量矩阵．请帮忙

正确答案：设A=(α_ij)因为所有非零列向量都是A的特征向量令：则有Aε₁=λ₁ε₁从而得到a₁₁=λ₁a₂₁=…=a_n1=0．类似由Aε_i=λ_iε_i有a_ij=λ_ia_1i=a_2i=…=a_i-1i=a_i+1i=…=a_ni=0(i=23…n)．故A可对角化即再取α=(11…1)^T则α也是特征向量．所以Aα=λ₀α从而有λ₁=λ₂=…=λ_n=λ₀所以A=λ₀I即A为一数量矩阵．
设A=(αij),因为所有非零列向量都是A的特征向量,令：则有Aε1=λ1ε1从而得到a11=λ1,a21=…=an1=0．类似由Aεi=λiεi,有aij=λi,a1i=a2i=…=ai-1,i=ai+1,i=…=ani=0(i=2,3,…,n)．故A可对角化即再取α=(1,1,…,1)T,则α也是特征向量．所以Aα=λ0α,从而有λ1=λ2=…=λn=λ0,所以A=λ0I,即A为一数量矩阵．