设A是数域K上的n级矩阵.证明:如果Kn中任意非零列向量都是A的特征向量 则A一定是数量矩阵.请帮忙

大学本科 已帮助: 时间:2024-11-13 22:54:36

设A是数域K上的n级矩阵.证明:如果Kn中任意非零列向量都是A的特征向量,则A一定是数量矩阵.
请帮忙给出正确答案和分析,谢谢!

难度:⭐⭐⭐

题库:大学本科,理学,数学类

标签:都是,向量,矩阵

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456***101

2024-11-13 22:54:36

正确答案:设A=(αij)因为所有非零列向量都是A的特征向量令:则有Aε11ε1从而得到a111a21=…=an1=0.类似由Aεiiεi有aijia1i=a2i=…=ai-1i=ai+1i=…=ani=0(i=23…n).故A可对角化即再取α=(11…1)T则α也是特征向量.所以Aα=λ0α从而有λ12=…=λn0所以A=λ0I即A为一数量矩阵.
设A=(αij),因为所有非零列向量都是A的特征向量,令:则有Aε1=λ1ε1从而得到a11=λ1,a21=…=an1=0.类似由Aεi=λiεi,有aij=λi,a1i=a2i=…=ai-1,i=ai+1,i=…=ani=0(i=2,3,…,n).故A可对角化即再取α=(1,1,…,1)T,则α也是特征向量.所以Aα=λ0α,从而有λ1=λ2=…=λn=λ0,所以A=λ0I,即A为一数量矩阵.

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