设k维C1流形M被两个坐标邻域覆盖 且它们的交集是连通的．证明：M为可定向曲面．请帮忙给出正确答案和

正确答案：设U₁U₂为覆盖M的两个坐标邻域局部坐标分别为{u¹u²…u^k与{v¹v²…v^k．由于U₁∩U₂是连通的故Jacobi行列式在U₁∩U₂中保持同号(Q∈U₂∩U₂使得J(P)>0f(Q)<0根据连续函数的零值定理(参阅[8第35页定理7．4．2)必有R∈U₁∩U₂使I(R)=0这与J≠0相矛盾．或者设U⁺={P｜J(P)>0P∈U₁∩U₂U^-={P｜J(P)<0P∈U₁∩U₂由于J连续故U⁺U^-均为M中的开集当然也为U₁∩U₂中的开集．从U₁∩U₂连通立知：U⁺=∮U^-=一U₁∩U₂；或U^-=一∮U⁺=U₁∩U₂．这表明了J在U₁∩U₂中保持同号)．若J在U₁∩U₂中恒正则根据定义3．1．2M可定向．若J在U₁∩U₂中恒负则在U中换局部坐标{v¹v²…v^k-1v^k为{v¹v²…v^k-1一v^k则在U₁∩U₂中恒大于0．这表明M是可定向的．
设U1,U2为覆盖M的两个坐标邻域,局部坐标分别为{u1,u2,…,uk与{v1,v2,…,vk．由于U1∩U2是连通的,故Jacobi行列式在U1∩U2中保持同号(Q∈U2∩U2,使得J(P)>0,f(Q)<0,根据连续函数的零值定理(参阅[8第35页定理7．4．2),必有R∈U1∩U2,使I(R)=0,这与J≠0相矛盾．或者设U+={P｜J(P)>0,P∈U1∩U2,U-={P｜J(P)<0,P∈U1∩U2,由于J连续,故U+,U-均为M中的开集,当然也为U1∩U2中的开集．从U1∩U2连通立知：U+=∮,U-=一U1∩U2；或U-=一∮,U+=U1∩U2．这表明了J在U1∩U2中保持同号)．若J在U1∩U2中恒正,则根据定义3．1．2,M可定向．若J在U1∩U2中恒负,则在U中换局部坐标{v1,v2,…,vk-1,vk为{v1,v2,…,vk-1,一vk,则在U1∩U2中恒大于0．这表明M是可定向的．