已知α1 α2 α3 α4是线性方程组Ax＝0的一个基础解系 若β1＝α1＋tα2 β2＝α2＋t
已知α1，α2，α3，α4是线性方程组Ax＝0的一个基础解系，若β1＝α1＋tα2， β2＝α2＋tα3，β3＝α3＋tα4，β4＝α4＋tα1，讨论实数t满足什么关系时，β1，β2，β3，β4也是Ax＝0的一个基础解系?
请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
参考解答
463***102
2024-11-15 09:26:47
正确答案：由于β1β2β3β4均为α1α2α3α4的线性组合所以β1β2β3β4均为Ax＝0的解．下面证明β1β2β3β4线性无关．设
[分析基础解系应满足两个条件：首先应是解向量，其次应线性无关且向量个数为s＝n－r(A)．本题的关键是证明β1，β2，β3，β4线性无关，而抽象向量组的线性无关性的证明一般都采用定义法．[评注对于一个抽象向量组的线性相关性的讨论，基本方法有定义法(如本题的证明)和等价法，若已知条件中包含矩阵等式或矩阵关系式时，可考虑转化为矩阵的秩来进行判断．本题也可用等价法证明：由题设，向量组β1，β2，β3，β4可由向量组β1，β2，β3，β4线性表示，且有(β1，β2，β3，β4)＝(α1，α2，α3，α4)可见，向量组α1，α2，α3，α4可由向量组β1，β2，β3，β4线性表示的充要条件是行列式即当t≠±1时，向量组α1，α2，α3，α4与向量组β1，β2，β3，β4等价，从而有向量组β1，β2，β3，β4线性无关，因此也为Ax＝0的一个基础解系．
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若线性方程组 有解，则常数a1，a2，a3，a4应满足条件________．请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
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