设有3维列向量 已知向量组与向量组具有相同的秩 且β3可由α1 α2 α3线性表示 求a b的值．已

正确答案：[详解1 因为α₁和α₂线性无关α₃＝3α₁＋2α₂所以向量组α₁α₂α₃线性相关且秩为2α₁α₂是它的一个极大线性无关组． 由于向量组β₁β₂β₃与α₁α₂α₃具有相同的秩故β₁β₂β₃线性相关从而行列式由此解得 a＝3b． 又β₃可由α₁α₂α₃线性表示从而可由α₁α₂线性表示于是向量组α₁α₂β₃线性相关因此有解得 2b—10＝0． 于是得 a＝15b＝5．[详解2 因β₃可由α₁α₂α₃线性表示故线性方程组有解．对增广矩阵施以初等行变换：由非齐次线性方程组有解的条件知得b＝5． 又因为α₁和α₂线性无关α₃＝3α₁＋2α₂所以向量组α₁α₂α₃的秩为2而题设β₁β₂β₃与α₁α₂α₃同秩从而有由此解得 a＝15．
向量组α1，α2，α3不含任何参数，其秩可直接计算出来为2，从而向量组β1，β2，β3的秩也可确定为2．即β1，β2，β3线性相关，可导出其行列式为0，得到一个方程；为了求出两个参数，还需要一个方程，根据β3可由α1，α2，α3线性表示，而α1，α2，α3的秩为2，因此β3与α1，α2，α3中的某两个向量线性相关，又可得一方程．最终可解出两个参数．当然，本题也可直接根据β3可由α1，α2，α3线性表示，即对应的线性方程组有解，利用有解的判定求参数．