用有限覆盖定理证明根的存在性定理。请帮忙给出正确答案和分析 谢谢！

正确答案：根的存在性定理：若函数f在[αb上连续且f(α)f(b)＜0则在(αb)内至少有f(x)的一个零点即存在x₀∈(αb)使f(x₀)=0。 反证法。假设任意x∈(αb)f(x)≠0。由连续函数的定义对每个使f(x)＞0的x必定存在其ε邻域(x-εx+ε)在这个开区间上f(x)＞0当f(x)＜0时同理亦成立；不妨设f(α)＞0则存在ε₁＞0使在[αα+ε₁)内f(x)＞0。对于[αα+ε₁)内任一点x又存在ε₂使在(x-ε₂x+ε₂)内f(x)＞0．依此类推得到[αb的一个开覆盖由有限覆盖定理存在这样的有限个开区间覆盖[αb在每个开区间上f(x)＞0故f(b)＞0于是f(α)f(b)＞0与条件矛盾则假设不成立原命题(根的存在性定理)得证。
根的存在性定理：若函数f在[α,b上连续,且f(α)f(b)＜0,则在(α,b)内至少有f(x)的一个零点,即存在x0∈(α,b),使f(x0)=0。反证法。假设任意x∈(α,b),f(x)≠0。由连续函数的定义,对每个使f(x)＞0的x,必定存在其ε邻域(x-ε,x+ε),在这个开区间上,f(x)＞0,当f(x)＜0时同理亦成立；不妨设f(α)＞0,则存在ε1＞0,使在[α,α+ε1)内f(x)＞0。对于[α,α+ε1)内任一点x,又存在ε2,使在(x-ε2,x+ε2)内f(x)＞0．依此类推,得到[α,b的一个开覆盖,由有限覆盖定理,存在这样的有限个开区间覆盖[α,b,在每个开区间上f(x)＞0,故f(b)＞0,于是f(α)f(b)＞0,与条件矛盾,则假设不成立,原命题(根的存在性定理)得证。