设f(χ)＝sinχ的函数表如下： 设f(χ)∈C5[a b] 求一不高于4次的插值多项式P(χ)

正确答案：由条件可设 P₄(χ)＝H₃(χ)＋αχ²(χ－1)² 其中α为待定常数。 由节点χ₁＝0χ₂＝1可求得H₃(χ)＝χ²(2－χ)。又因为f(2)＝P(2)＝1 所以得α＝于是 P(χ)＝χ²(2－χ)＋χ²(χ－1)²＝χ²(χ－3)² 设余式R(χ)为 R(χ)＝f(χ)－P₄(χ)＝k(χ)χ²(χ－1)²(χ－2) 作辅助函数： φ(t)＝R(t)－f(t)－P₄(t) 则φ(χ)＝φ(0)＝φ(1)＝0且t＝0t＝1是φ(t)的二重零点。有六个零点：χ0(二重)1(二重)2反复运用则洛尔定理五次得φ⁽⁵⁾(ξ)＝0由此可得 k(χ)＝ξ∈(ab) 即有R(χ)＝χ²(χ－1)²(χ－2)
由条件可设P4(χ)＝H3(χ)＋αχ2(χ－1)2其中α为待定常数。由节点χ1＝0,χ2＝1,可求得H3(χ)＝χ2(2－χ)。又因为f(2)＝P(2)＝1,所以得α＝,于是P(χ)＝χ2(2－χ)＋χ2(χ－1)2＝χ2(χ－3)2设余式R(χ)为R(χ)＝f(χ)－P4(χ)＝k(χ)χ2(χ－1)2(χ－2)作辅助函数：φ(t)＝R(t)－f(t)－P4(t)则φ(χ)＝φ(0)＝φ(1)＝0,且t＝0,t＝1是φ(t)的二重零点。有六个零点：χ,0(二重),1(二重),2,反复运用,则洛尔定理五次得φ(5)(ξ)＝0,由此可得k(χ)＝,ξ∈(a,b)即有R(χ)＝χ2(χ－1)2(χ－2)