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设f(χ)＝sinχ，g(χ)＝cosχ，χ∈[－1，1]，试用勒让德多项式分别对f(χ)，g(χ)做最佳平方逼近三次和四次多项式，并估计误差。
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参考解答
456***102
2024-11-17 06:34:44
正确答案：×
设G3(χ)＝a0P0(χ)＋a1P1(χ)＋a2P2(χ)＋a3P3(χ)为f(χ)＝sinχ在[－1,1上最佳平方逼近三次勒让德多项式,则ak＝其中,P(χ)为[－1,1上勒让德多项式。因为k＝0,2时,sinχPk(χ)为奇函数,故a0＝a2＝0,于是a1＝χsinχdχ＝3(sin1－cos1)＝0．903506036a3＝(5χ3－3χ)sinχdχ＝7(9sin1－14cos1)＝0．63046064所以G3(χ)＝a1P1(χ)＋a3P3(χ)＝0．998075132χ－0．15761516χ3令δ＝f(χ)－G3(χ),得平方误差为同理对g(χ)＝cos(χ)可求得四次多项式G4(χ)＝a0P0(χ)＋a2P2(χ)＋a4P4(χ)＝sin1P0(χ)＋5(3cos1－2sin1)P2(χ)＋9(61sin1－95cos1)P4(χ)＝0．999970774－0．499384506χ2＋0．039808558χ4平方误差为‖δ‖22＝＝1．399643×10-9
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