设α β都是非零的四维列向量 且α与β正交 A=αβT 则矩阵A的线性无关的特征向量共有( )．A．
设α、β都是非零的四维列向量，且α与β正交，A=αβT，则矩阵A的线性无关的特征向量共有( )．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
参考解答
432***102
2024-11-15 07:21:48
正确答案：C
∵α、β正交，βTα=0，且A=αβT∴A2=αβTαβT=αOβT=D设A是A的特征值，则λ2是A2的特征值．由A2=D知λ=0，即A的特征值只能是0．因α、β都是非零向量，0≤秩rA≤r(α)=1．又A≠D，∴rA=1则方程组(OJE—A)x=0的系数矩阵的秩为1，故它的基础解系含三个线性无关的解向量，即A的线性无关的特征向量有三个．
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