设f：S→S’；g：S’→S．证明：如果f和g都是单射(满射) 则gf也是单射(满射)．请帮忙给出正
设f：S→S’；g：S’→S．证明：如果f和g都是单射(满射)，则gf也是单射(满射)．
请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
参考解答
432***101
2024-11-13 17:21:07
正确答案：I 若fg是单射则
α1α2∈Sα1≠α2有f(α2)≠f(α2)f(α1)f(α2)∈S’从而(gf)α1≠(gf)α2由单射的定义知gf也是单射．Ⅱ 若fg是满射则
a∈S''
b∈S'有g(b)=a对于b∈S'存在c∈S有b=f(c)．因此g(g(c))=(gf)c=a．所以gf是满射．
I若f,g是单射,则α1,α2∈S,α1≠α2,有f(α2)≠f(α2),f(α1),f(α2)∈S’,从而(gf)α1≠(gf)α2,由单射的定义知gf也是单射．Ⅱ若f,g是满射,则a∈S'',b∈S',有g(b)=a,对于b∈S',存在c∈S,有b=f(c)．因此g(g(c))=(gf)c=a．所以gf是满射．
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