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若函数f(z)在区域D内解析，且满足下列条件之一，试证f(z)在D内必为常数． (1)在D内f(z)=0； (2)
在D内解析； (3)｜f(z)｜在D内为常数； (4)Ref(z)或Imf(z)在D内为常数．
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参考解答
413***103
2024-11-21 12:05:47
正确答案：设f(z)=u(xy)+iv(xy)(1)
=一iuy可得ux=uy=vx=vy=0最后由数学分析中二元实函数的结论可得证．(2)若
=(xy)一iv(xy)解析由C—R．方程很容易得到ux=uy=ux=vy=0从而u(xy)v(xy)在D内为常数故f(z)亦为常数．(3)若｜f(z)｜≡C=0则显然f(z)≡0．若｜f(z)｜≡C≠0有f(2)≠0．由
也是解析函数则利用(2)可知f(z)在D内为常数．
设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)(1)=一iuy可得ux=uy=vx=vy=0,最后由数学分析中二元实函数的结论可得证．(2)若=(x,y)一iv(x,y)解析,由C—R．方程很容易得到ux=uy=ux=vy=0,从而u(x,y),v(x,y)在D内为常数,故f(z)亦为常数．(3)若｜f(z)｜≡C=0,则显然f(z)≡0．若｜f(z)｜≡C≠0,有f(2)≠0．由也是解析函数,则利用(2)可知f(z)在D内为常数．
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