假设函数f(z)在原点邻域内是解析的 且适合方程 f(2z)=2f(z)．f(z) 试证：f(z)

正确答案：因f(z)在原点解析所以f'(z)在原点也解析于是可设f(z)与 f'(z)在｜z｜＜r内解析．故f(2z)=2f(z)f'(z)在｜z｜＜r内也解析． 令w₁=2z则f(w₁)在｜w₁｜=2｜z｜＜2r内解析． 因而f(2w₁)=2f(w₁)f'(w₁)在｜w₁｜＜2r也解析． 令w₂=2w₁则f(w₂)在｜w₂｜=2｜w₁｜＜2．2r=4r内解析． 如此类推用归纳法可得f(w_n)在｜w_n｜＜2ⁿr内解析．这里n是任意自然数故f(z)可以延拓到整个复平面上．
因f(z)在原点解析,所以f'(z)在原点也解析,于是可设f(z)与f'(z)在｜z｜＜r内解析．故f(2z)=2f(z)f'(z)在｜z｜＜r内也解析．令w1=2z,则f(w1)在｜w1｜=2｜z｜＜2r内解析．因而f(2w1)=2f(w1)f'(w1)在｜w1｜＜2r也解析．令w2=2w1,则f(w2)在｜w2｜=2｜w1｜＜2．2r=4r内解析．如此类推,用归纳法可得f(wn)在｜wn｜＜2nr内解析．这里n是任意自然数,故f(z)可以延拓到整个复平面上．