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设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2,记
。 (1)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT; (2)若α,β正交且均为单位向量,证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22.
请帮忙给出正确答案和分析,谢谢!
参考解答
正确答案:(1)记x=(x1x2x3)因为f(x1x2x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2=xT(2ααT)x+xT(ββT)x=xT(2ααT+ββT)x且2ααT+ββT为对称矩阵所以二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT.(2)记A=2ααT+ββT.由αβ正交且均为单位向量得Aα=(2ααT+ββT)α=2α(αT.α)+β(βT.α)=2α Aβ=(2ααT+ββT)β=2α(αT.β)+β(βT.β)=β 于是α为A的对应于特征值λ1=2的特征向量β为A的对应于特征值λ2=1的特征向量.又因r(A)=r(2ααT+ββT)≤r(2ααT)+r(ββT)≤2<3所以λ3=0为A的第3个特征值故二次型f在正交变换下的标准形为2y12+y22.
充分利用行向量与列向量的乘积、列向量与行向量的乘积的特殊性分析求解.
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