已知向量组 若向量组α β γ线性无关 问向量组α α＋β α＋β＋γ是否也线性无关?若向量组α β

正确答案：判别向量组αα＋βα＋β＋γ是否线性无关归结为判别线性组合系数k₁k₂k₃为未知量的齐次线性方程组 k₁α＋k₂(α＋β)＋k₃(α＋β＋γ)＝0是否仅有零解．此齐次线性方程组经向量的线性运算化为 (k₁＋k₂＋k₃)α＋(k₂＋k₃)β＋k₃γ＝0由于向量组αβγ线性无关从而上述线性组合系数k₁＋k₂＋k₃k₂＋k₃k₃为未知量的齐次线性方程组仅有零解k₁＋k₂＋k₃＝k₂＋k₃＝k₃＝0说明原线性组合系数k₁k₂k₃满足齐次线性方程组注意到系数行列式因此上述齐次线性方程组仅有零解k₁＝k₂＝k₃＝0所以向量组αα＋βα＋β＋γ也线性无关．
判别向量组α,α＋β,α＋β＋γ是否线性无关,归结为判别线性组合系数k1,k2,k3为未知量的齐次线性方程组k1α＋k2(α＋β)＋k3(α＋β＋γ)＝0是否仅有零解．此齐次线性方程组经向量的线性运算化为(k1＋k2＋k3)α＋(k2＋k3)β＋k3γ＝0由于向量组α,β,γ线性无关,从而上述线性组合系数k1＋k2＋k3,k2＋k3,k3为未知量的齐次线性方程组仅有零解k1＋k2＋k3＝k2＋k3＝k3＝0,说明原线性组合系数k1,k2,k3满足齐次线性方程组注意到系数行列式因此上述齐次线性方程组仅有零解k1＝k2＝k3＝0,所以向量组α,α＋β,α＋β＋γ也线性无关．