试求初值问题 设是由不等式：T0＜t＜T1 ｜x｜＜∞所确定的区域．方程 的任一饱和解x=φ(t)均
试求初值问题 设是由不等式：T0＜t＜T1，｜x｜＜∞所确定的区域．方程 的任一饱和解x=φ(t)均有界，其中
设
是由不等式：T0＜t＜T1，｜x｜＜∞所确定的区域．方程 
的任一饱和解x=φ(t)均有界，其中f(t，x)在区域G上连续．则x=φ(t)的存在区间必为整个区间(T0，T1)．
请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
参考解答
4j8***101
2024-11-14 05:53:24
正确答案：用反证法．若不然不妨设初值问题
的解x=φ(t)向右只可以延拓到区间[t0β)其中(t0x0)为区域G上任一点β＜T1．由于x=φ(t)有界故存在M＞0使得对任意的(tx)∈G都有｜φ(t)｜≤M．从而当t∈[t0β)日寸积分曲线x=φ(t)完全包含在区域
内因此向右无法延拓到区域G的边界这与解的延拓定理矛盾因此原方程的任一饱和解的存在区间必为(T0T1)．
用反证法．若不然,不妨设初值问题的解x=φ(t)向右只可以延拓到区间[t0,β),其中(t0,x0)为区域G上任一点,β＜T1．由于x=φ(t)有界,故存在M＞0使得对任意的(t,x)∈G都有｜φ(t)｜≤M．从而当t∈[t0,β)日寸,积分曲线x=φ(t)完全包含在区域内,因此向右无法延拓到区域G的边界,这与解的延拓定理矛盾,因此原方程的任一饱和解的存在区间必为(T0,T1)．
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