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设(1)f(z)在点z0解析 f(z0)=w0； (2)f(z)一w0以z0为n阶零点．试证：对于

大学本科已帮助：人时间:2024-11-21 03:11:57

设(1)f(z)在点z0解析，f(z0)=w0； (2)f(z)一w0以z0为n阶零点．试证：对于充分小的ε＞0，能确定δ＞0，使对满足｜a一w0｜＜δ的a，函数f(z)一口在圆｜z一z0｜＜ε内恰有n个一阶零点．
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481***103

2024-11-21 03:11:57

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证明：令 $F(z)=f(z)-f(z_0)=f(z)-w_0,F(z_0)=0$ （n阶零点）, $f(z)-a=(f(z)-w_0)+(w_0-a)=F(z)+(w_0-a)$ .

$F(z_0)=0$ ,则由解析函数零点的孤立性知，存在 $\epsilon>0$ ，使得在 $|z-z_0|\leq\epsilon$ 内, $F(z)\neq0$ ,且在 $C：|z-z_0|=\epsilon$ 上， $|F(z)|\geq m={min_{z\in C |F(z)|$ .

这里控制 $\delta<m$ ,则有 $Rouch\acute{e$ 定理知， $f(z)-a$ 在 $|z-z_0|<\epsilon$ 内恰有 $n$ 个零点 : $z_1,z_2...z_n$ （重根按重数计）.

下面再说明都是一阶零点:

因为 $f(z)-w_0$ 以 $z_0$ 为 $n$ 阶零点,则 $f'(z_0)=0$ ,再次运用解析函数零点的孤立性，对于充分小的 $\epsilon>0$ ，使得 $|z-z_0|<\epsilon$ 内， $f'(z)\neq0$ ,即每个根都是单根.

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