证明Cauchy—Euler方程 给定齐次方程组x=Ax 其中A为常数值矩阵．证明 (1)若A的所有

正确答案：设矩阵A有互不相同的特征根λ₁…λ_s重数分别为n₁…n_s且n₁+n₂+…+n_s=n则齐次方程组x=Ax的任一解x(t)均有形式其中P_i(t)为多项式且degP_j(t)≤n_j一1． (1)若A的所有特征根实部都＜0则对任一j(1≤j≤s)反复运用洛必达法则得因此当t→+∞时x(t)趋于0．即方程组x=Ax的所有解当t→+∞时趋于0．(2)若A的所有特征根实部都≤0且零实部的特征根都是简单根不妨设λ₁…λ_k的实部为零λ_k+1…λ_s的实部为负．则由假设n₁=…=n_k=1从而｜P₁(t)｜…｜P_k(t)｜均为非负常数设为c₁≥0…c_k≥0因此对任一j(1≤j≤k)有(3)若A有一个特征根实部＞0不妨设λ₁=α+iβ的实部a＞0．设η是A相应于λ₁的特征向量则方程组x=Ax有解．显然有因此方程组x=Ax有一个解当t→+∞时趋向无穷．
设矩阵A有互不相同的特征根λ1,…,λs,重数分别为n1,…,ns且n1+n2+…+ns=n,则齐次方程组x=Ax的任一解x(t)均有形式其中Pi(t)为多项式且degPj(t)≤nj一1．(1)若A的所有特征根实部都＜0,则对任一j(1≤j≤s),反复运用洛必达法则得因此当t→+∞时x(t)趋于0．即方程组x=Ax的所有解当t→+∞时趋于0．(2)若A的所有特征根实部都≤0且零实部的特征根都是简单根,不妨设λ1,…,λk的实部为零,λk+1,…,λs的实部为负．则由假设,n1=…=nk=1,从而｜P1(t)｜,…,｜Pk(t)｜均为非负常数,设为c1≥0,…,ck≥0,因此对任一j(1≤j≤k)有(3)若A有一个特征根实部＞0,不妨设λ1=α+iβ的实部a＞0．设η是A相应于λ1的特征向量,则方程组x=Ax有解．显然有因此方程组x=Ax有一个解当t→+∞时趋向无穷．