试用有限覆盖定理证明聚点定理。请帮忙给出正确答案和分析 谢谢！

正确答案：设有界无穷点集S真包含于[-MM显然S若有聚点必含于[-MM内现假设[-MM内的每一点均不是S的聚点则任意x∈[-MM存在δ_x＞0使得U(x；δ_x)∩S为有限点集。记H={U(x；δ_x)｜ x∈[-MM)则H为[-MM的一个开覆盖。由有限覆盖定理存在H中有限个开区间U(x₁；δ₁)…U(x_n；δ_n)使得S真包含于[-MM 真包含于U(x_i；δ_i)。由于U(x_i；δ_i)∩S为有限点集(i=12…n)故由上式将导出S为有限点集与假设矛盾所以在[-MM内至少有S的一个聚点。
设有界无穷点集S真包含于[-M,M,显然S若有聚点,必含于[-M,M内,现假设[-M,M内的每一点均不是S的聚点,则任意x∈[-M,M,存在δx＞0,使得U(x；δx)∩S为有限点集。记H={U(x；δx)｜x∈[-M,M),则H为[-M,M的一个开覆盖。由有限覆盖定理,存在H中有限个开区间U(x1；δ1),…,U(xn；δn),使得S真包含于[-M,M真包含于U(xi；δi)。由于U(xi；δi)∩S为有限点集(i=1,2,…,n),故由上式将导出S为有限点集,与假设矛盾,所以在[-M,M内至少有S的一个聚点。