证明：f(x)为I上凸函数的充要条件是对任何x1 x2∈I 函数φ(λ)=f(λx1+(1-λ)x2

正确答案：必要条件： 设f(x)为I上的凸函数则对任意的λ₁λ₂∈[01及k∈(01)有φ(kλ₁+(1-k)λ₂) =f[(kλ₁+(1-k)λ₂)·x₁+(1-kλ₁-(1k)λ₂)·x₂ =f[k(λ₁x₁+(1-λ₁)x₂)+(1-k)(λ₂x₁+(1-λ₂)x₂)≤kf(λ₁x₁+(1-λ₁)x₂)+(1-k)f(λ₂x₁+(1-λ₂)x₂)=kφ(λ₁)+(1-k)φ(λ₂)按定义φ(x)为[01上的凸函数。充分条件：设φ(x)为[01上的凸函数则对任意的x₁x₂∈I及λ∈(01)有 f(λx₁+(1-λ)x₂)=φ(λ)=φ(λ·1+(1-λ)·0)≤λφ(1)+(1-λ)φ(0)=λf(x₁)+(1-λ)f(x₂)按定义f(x)为I上的凸函数。
必要条件：设f(x)为I上的凸函数,则对任意的λ1,λ2∈[0,1及k∈(0,1),有φ(kλ1+(1-k)λ2)=f[(kλ1+(1-k)λ2)·x1+(1-kλ1-(1k)λ2)·x2=f[k(λ1x1+(1-λ1)x2)+(1-k)(λ2x1+(1-λ2)x2)≤kf(λ1x1+(1-λ1)x2)+(1-k)f(λ2x1+(1-λ2)x2)=kφ(λ1)+(1-k)φ(λ2)按定义,φ(x)为[0,1上的凸函数。充分条件：设φ(x)为[0,1上的凸函数,则对任意的x1,x2∈I及λ∈(0,1),有f(λx1+(1-λ)x2)=φ(λ)=φ(λ·1+(1-λ)·0)≤λφ(1)+(1-λ)φ(0)=λf(x1)+(1-λ)f(x2)按定义,f(x)为I上的凸函数。