设f(x)在区间I上连续 并且在I上仅有唯一的极值点x0。证明：若x0是f(x)的极大(小)值点 则
设f(x)在区间I上连续，并且在I上仅有唯一的极值点x0。证明：若x0是f(x)的极大(小)值点，则x0必是f(x)在I上的最大(小)值点。
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参考解答
473***102
2024-11-17 12:47:47
正确答案：若I是开区间则端点处取不到可能的极端值无须考虑；若I是闭区间假设x0不是f(x)在I上的最大(小)值点则两端点必定一个是最大值点一个是最小值点不妨设I为[αb设x=α是最小值点x=b是最大值点则f'+(α)≥0f'-(b)≥0f(x)不可能只有一个极值点x0矛盾其他情形下完全同理亦可推出矛盾故假设不成立x0必是f(x)在I上的最大(小)值点。
若I是开区间,则端点处取不到可能的极端值,无须考虑；若I是闭区间,假设x0不是f(x)在I上的最大(小)值点,则两端点必定一个是最大值点,一个是最小值点,不妨设I为[α,b,设x=α是最小值点,x=b是最大值点,则f'+(α)≥0,f'-(b)≥0,f(x)不可能只有一个极值点x0,矛盾,其他情形下完全同理,亦可推出矛盾,故假设不成立,x0必是f(x)在I上的最大(小)值点。
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