试用聚点定理证明柯西收敛准则。请帮忙给出正确答案和分析 谢谢！

正确答案：柯西收敛准则：数列{α_n收敛的充要条件是任给ε＞0存在N∈N⁺任意nm≥N有｜α_n-α_m｜＜ε(称为柯西条件)。 充分性：若{x_n收敛设收敛点为A则由极限定义任给ε＞0存在N∈N⁺当n＞N时｜α_n-A｜＜ε/2于是当nm＞N时｜α_m-α_n｜≤｜α_m-A｜+｜α_n-A｜＜ε/2+ε/2=ε柯西条件成立。 必要性：设数列{α_n)满足：任给ε＞0存在N∈N⁺任意mn≥N有｜α_n-α_m｜＜ε要证{α_n收敛。 取ε=1存在N₁∈N⁺任意n≥N₁有｜α_n-αN₁｜＜1=>｜αN₁｜+1n=N₁+1N₁+2…由此易知{α_n)有界。(N₁前面的有限项显然有界)按致密性定理(作为聚点定理的直接推论)存在收敛子列{α_nk)设其极限为α任意ε＞0存在N∈N⁺任意nk≥N(此时n_k≥k≥N)有｜α_n-α_nk｜＜ε即αn_k-ε＜α_n＜α_nk+ε。在上式中令k→∞由数列极限的保不等式性有α-ε≤α_n≤α+ε。这就证明了数列{α_n收敛。
柯西收敛准则：数列{αn收敛的充要条件是任给ε＞0,存在N∈N+,任意n,m≥N有｜αn-αm｜＜ε(称为柯西条件)。充分性：若{xn收敛,设收敛点为A,则由极限定义,任给ε＞0,存在N∈N+,当n＞N时,｜αn-A｜＜ε/2,于是,当n,m＞N时,｜αm-αn｜≤｜αm-A｜+｜αn-A｜＜ε/2+ε/2=ε,柯西条件成立。必要性：设数列{αn)满足：任给ε＞0,存在N∈N+,任意m,n≥N,有｜αn-αm｜＜ε,要证{αn收敛。取ε=1,存在N1∈N+,任意n≥N1,有｜αn-αN1｜＜1=>｜αN1｜+1,n=N1+1,N1+2,…由此易知{αn)有界。(N1前面的有限项显然有界),按致密性定理(作为聚点定理的直接推论),存在收敛子列{αnk),设其极限为α,任意ε＞0,存在N∈N+,任意,n,k≥N(此时nk≥k≥N),有｜αn-αnk｜＜ε,即αnk-ε＜αn＜αnk+ε。在上式中令k→∞,由数列极限的保不等式性有α-ε≤αn≤α+ε。这就证明了数列{αn收敛。