设矩阵A的n个特征值互异 对任意的非零向量χ0和y0做迭代 (1)证明：其中 λ1为矩阵A按模最大

正确答案：(1)证明设A的特征值为λ对应的特征向量为u_i(i＝12…n)。因为A与A^T有相同的特征值所以设A^T的特征值λ_i对应的特征向v(i＝12…n)。首先证明当i≠j时(u₁v₁)＝0事实上由Au_i＝λ_iu_i得 (v_jAu_i)＝λ_i(v_ju_i) 再由A^Tv_j＝λ_jv_j得 (v_jAu_i)＝u_i^TA^Tv_j＝u_i^Tλ_jv_j＝λ_j(v_ju_i)λ_i(v_ju_i)＝λ_j(v_ju_i) 所以当i≠j时λ_i≠λ_j故必有(v_ju_i)＝(u_iv_i)＝0。 其次设 χ₀＝α₁u₁＋α₂u₂＋…＋α_nu_n y₀＝β₁v₁＋β₂v₂＋…＋β_nv_n 由迭代公式及幂法知 χ_k＝α₁λ₁^ku₁＋α₂λ₂^ku₂＋…＋α_nλ_n^ku_n y_k＝β₁λ₁^kv₁＋β₂λ₂^kv₂＋…＋β_nλ_n^kv_n 因此有 (χ_ky_k)＝α₁β₁λ₁^2k(u₁v₁)＋α₂β₂λ₂^2k(u₂v₂)＋…＋α_nβ_nλ_n^2k(u_nv_n) (χ_ky_k-1)＝α₁β₁λ₁^2k-1(u₁v₁)＋α₂β₂λ₂^2k-1(u₂v₂)＋…＋α_nβ_nλ_n^2k-1(u_nv_n) 于是 所以＝λ₁ (2)解取χ₀(123)^T y₀＝(321)^T计算结果为 χ₁＝(－79－41－42)^T y₁＝(24133－217)^T χ₂＝(391197198)^T y₂＝(－132－6731081)^T χ₃(－1639－821－822)^T y₃＝(5642833－4537)^T χ₄(663133173318)^T y₄＝(－2292－1147318361)^T χ₅＝(－26599－13301－13302)^T y₅(920446033－73654)^T 于是λ₁≈＝－3．99871与准确值λ₁＝－4相比误差为｜e｜≤0．00129。
(1)证明设A的特征值为λ,对应的特征向量为ui(i＝1,2,…,n)。因为A与AT有相同的特征值,所以设AT的特征值λi对应的特征向v(i＝1,2,…,n)。首先证明,当i≠j时,(u1,v1)＝0,事实上,由Aui＝λiui得(vj,Aui)＝λi(vj,ui)再由ATvj＝λjvj得(vj,Aui)＝uiTATvj＝uiTλjvj＝λj(vj,ui)λi(vj,ui)＝λj(vj,ui)所以当i≠j时λi≠λj,故必有(vj,ui)＝(ui,vi)＝0。其次,设χ0＝α1u1＋α2u2＋…＋αnuny0＝β1v1＋β2v2＋…＋βnvn由迭代公式及幂法知,χk＝α1λ1ku1＋α2λ2ku2＋…＋αnλnkunyk＝β1λ1kv1＋β2λ2kv2＋…＋βnλnkvn因此有(χk,yk)＝α1β1λ12k(u1,v1)＋α2β2λ22k(u2,v2)＋…＋αnβnλn2k(un,vn)(χk,yk-1)＝α1β1λ12k-1(u1,v1)＋α2β2λ22k-1(u2,v2)＋…＋αnβnλn2k-1(un,vn)于是所以＝λ1(2)解取χ0(1,2,3)T,y0＝(3,2,1)T计算结果为χ1＝(－79,－41,－42)T,y1＝(24,133,－217)Tχ2＝(391,197,198)T,y2＝(－132,－673,1081)Tχ3(－1639,－821,－822)Ty3＝(564,2833,－4537)Tχ4(6631,3317,3318)T,y4＝(－2292,－11473,18361)Tχ5＝(－26599,－13301,－13302)T,y5(9204,46033,－73654)T于是,λ1≈＝－3．99871与准确值λ1＝－4相比,误差为｜e｜≤0．00129。