求下列微分方程的通解： (1)y〞－2yˊ＝0； (2)y〞－3yˊ＋2y＝0； (3)y〞＋4y＝

正确答案：(1)方程的特征方程为r²－2r＝0特征根为r₁＝0r₂＝2所以原方程的通解为y＝C₁＋C₂e^2x． (2)特征方程为r₂－3r＋2＝0特征根为r₁＝1r₂＝2所以原方程的通解为y＝C₁e^x＋C₂e^2x． (3)方程的特征方程为r²＋4＝0特征根为r₁₂＝±2i所以原方程的通解为y＝C₁cos2x＋C₂sin2x． (4)特征方程为r²－4r＋5＝0则r₁₂＝2±i通解y＝e^2x(C₁cosx＋C₂sinx)． (5)方程的特征方程为r²－6r＋9＝0特征根为r₁₂＝3所以原方程的通解为y＝(C₁＋C₂x)e^3x． (6)特征方程为r²＋2r＋a＝0讨论①当a＝1时r₁＝r₂＝－1通解y＝(C₁＋C₂x)e^－x； (7)方程的特征方程为r³＋6r²＋10r＝0特征根为r₁＝0r₂₃＝－3±i所以原方程的通解为y＝C₁＋e^－3x(C₂cosx＋C₃sinx)． (8)特征方程为r⁴－2r²＋1＝0特征根为r₁＝r₂＝1r₃＝r₄＝－1通解y＝(C₁＋C₂x)e^x＋(C₃＋C₄x)e^－x． (9)方程的特征方程为r⁴＋2r²＋1＝0特征根为r₁₂＝ir₃₄＝－i所以原方程的通解为y＝(C₁＋C₂x)cosx＋(C₃＋C₄x)sinx． (10)特征方程为r⁴＋3r²－4＝0特征根为r₁₂＝±2ir₃₄＝±1所以原方程的通解为y＝C₁e^x＋C₂e^－x＋C₃cos2x＋C₄sin2x．
(1)方程的特征方程为r2－2r＝0,特征根为r1＝0,r2＝2,所以原方程的通解为y＝C1＋C2e2x．(2)特征方程为r2－3r＋2＝0,特征根为r1＝1,r2＝2,所以原方程的通解为y＝C1ex＋C2e2x．(3)方程的特征方程为r2＋4＝0,特征根为r1,2＝±2i,所以原方程的通解为y＝C1cos2x＋C2sin2x．(4)特征方程为r2－4r＋5＝0,则r1,2＝2±i,通解y＝e2x(C1cosx＋C2sinx)．(5)方程的特征方程为r2－6r＋9＝0,特征根为r1,2＝3,所以原方程的通解为y＝(C1＋C2x)e3x．(6)特征方程为r2＋2r＋a＝0,讨论①当a＝1时,r1＝r2＝－1,通解y＝(C1＋C2x)e－x；(7)方程的特征方程为r3＋6r2＋10r＝0,特征根为r1＝0,r2,3＝－3±i,所以原方程的通解为y＝C1＋e－3x(C2cosx＋C3sinx)．(8)特征方程为r4－2r2＋1＝0,特征根为r1＝r2＝1,r3＝r4＝－1,通解y＝(C1＋C2x)ex＋(C3＋C4x)e－x．(9)方程的特征方程为r4＋2r2＋1＝0,特征根为r1,2＝i,r3,4＝－i,所以原方程的通解为y＝(C1＋C2x)cosx＋(C3＋C4x)sinx．(10)特征方程为r4＋3r2－4＝0,特征根为r1,2＝±2i,r3,4＝±1,所以原方程的通解为y＝C1ex＋C2e－x＋C3cos2x＋C4sin2x．