求下列欧拉方程的通解: (1)x2y〞＋3xyˊ＋y＝0； (2)x2y〞－4xyˊ＋6y＝x； (

正确答案：×
(1)令x＝et或t＝lnx作变换代人原方程(D2＋2D＋1)y＝0,特征方程为r2＋2r＋1＝0,r＝－1,所以y(t)＝(C1＋C2t)e,所以y(x)＝(C1＋C2lnx)×1／x．(2)用t=lnx作代换．原方程化为(D2－5D＋6)y＝et,①对应齐次方程的特征方程为r2－5r＋6＝0,r1＝2,r2=3．齐次方程通解为y(t)＝C1e2t＋C2e3tf(t)＝et,r＝1不是特征方程的根．所以特解形式y*＝aet代人①得a＝1／2,所以特解为y*＝1／2et,从而①式通解为y(t)＝1／2et＋C1e2t＋C2e3t,所以原方程通解为y(x)＝1／2x＋C1x2＋C2x3．(3)方程两边同乘x2,得x2y〞－xyˊ＋y＝2x,用x＝et作代换得(D2－2D＋1)y＝2et,①对应齐次方程的特征方程为r2－2r＋1＝0,r＝1,齐次方程通解为y(t)＝(C1＋C2t)et,f(t)＝2et,所以特解形式为y*(t)＝tt×a×et．代入①得a＝1,所以y*(t)＝t2et,从而①式通解为y(t)＝t2et＋(C1＋C2t)et．所以原方程通解为y(x)＝x[(1nx)2＋(C1＋C2lnx),y(x)＝x(ln2x＋C1＋C2lnx)．(4)用x＝et作代换得(D3－3D＋2)y＝0,特征方程为r3－3r＋2＝0,得特征根r1＝r2＝1,r2＝－2,所以①式方程通解为y(t)＝(C1＋C2t)et＋C3e2t,所以原方程通解为y(x)＝x×(C1＋C2lnx)＋C3e－2．(5)用x＝et或t＝lnx作代换得(D2－4)y＝e3t,①对应齐次方程的特征方程为r2－4＝0,所以特征根为y,r1＝2,r2＝－2,齐次方程通解为y(t)＝C1e2t＋C2e－2t,特解形式为y*(t)＝ae3t,代入①式得a＝1／5．所以①式方程通解为y(t)＝1／5e3t＋C1e2t＋C2e－2t,所以原方程通解为y(x)＝1／5x3＋C1x2＋C2x－2．(6)用x＝et作代换得(D2－2D＋4)y＝etsint,①