证明Cauchy—Euler方程 求解方程组：求解方程组： 请帮忙给出正确答案和分析 谢谢！

正确答案：(1)该方程组的系数矩阵A有3个彼此互异的特征根λ₁=1λ₂=2λ₃=3其对应的特征向量分别为c₁=(323)^Tc₂=(411)^Tc₃=(223)^T．由此得原方程组的通解为其中C₁C₂C₃为任意常数． (2)易见该方程组的系数矩阵A满足 A²=一IA³=一AA⁴=I…因此原方程组有基本解矩阵由此得原方程组的通解为其中C₁C₂为任意常数． (3)该方程组的系数矩阵A有3个彼此互异的特征根λ₁=5λ₂=2+iλ₃=2一i其对应的特征向量分别为c₁=(一201)^Tc₂=(3+i2一i一2)^Tc₃=(3一i2+i一2)^T．因此原方程组有复基本解矩阵(4)(5)该方程组的系数矩阵A有3个彼此互异的特征根λ₁=0λ₂=4λ₃=9．其对应的特征向量分别为c₂=(111)^Tc₃=(100)^T．由此得原方程组的通解为其中C₁C₂C₃为任意常数． (6)该方程组的系数矩阵A有单特征根λ₁=1和二重特征根λ₂=5．对λ₁=1其对应的特征向量为c₁=(110)^T．对λ₂=5求(A—λ₂I)。c=O的非平凡解即求解线性方程组(7)该方程组的系数矩阵A有三重特征根λ=2．直接计算可得(A一λI)³=0．因此可计算基本解矩阵如下
(1)该方程组的系数矩阵A有3个彼此互异的特征根λ1=1,λ2=2,λ3=3,其对应的特征向量分别为c1=(3,2,3)T,c2=(4,1,1)T,c3=(2,2,3)T．由此得原方程组的通解为其中C1,C2,C3为任意常数．(2)易见该方程组的系数矩阵A满足A2=一I,A3=一A,A4=I,…因此原方程组有基本解矩阵由此得原方程组的通解为其中C1,C2为任意常数．(3)该方程组的系数矩阵A有3个彼此互异的特征根λ1=5,λ2=2+i,λ3=2一i,其对应的特征向量分别为c1=(一2,0,1)T,c2=(3+i,2一i,一2)T,c3=(3一i,2+i,一2)T．因此原方程组有复基本解矩阵(4)(5)该方程组的系数矩阵A有3个彼此互异的特征根λ1=0,λ2=4,λ3=9．其对应的特征向量分别为,c2=(1,1,1)T,c3=(1,0,0)T．由此得原方程组的通解为其中C1,C2,C3为任意常数．(6)该方程组的系数矩阵A有单特征根λ1=1和二重特征根λ2=5．对λ1=1,其对应的特征向量为c1=(1,1,0)T．对λ2=5求(A—λ2I)。c=O的非平凡解,即求解线性方程组(7)该方程组的系数矩阵A有三重特征根λ=2．直接计算可得(A一λI)3=0．因此可计算基本解矩阵如下