设f(x)为区间I上严格凸函数 证明:若x0∈I为f(x)的极小值点 则x0为f(x)在I上唯一的极
设f(x)为区间I上严格凸函数,证明:若x0∈I为f(x)的极小值点,则x0为f(x)在I上唯一的极小值点。
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参考解答
正确答案:若f(x)有异于x0的另一极小值点x1∈I不妨设f(x1)≤f(x0)由于f(x)是I上的严格凸函数对于任何λ∈(01)都有f(λx0+(1-λ)x1)<λf(x0)+(1-λ)f(x1)≤f(x0)。于是?δ>0只要λ充分接近1时总有x=λx0+(1-λ)x1∈U。(x0;δ)∩I。但是f(x)<f(x0)这与x0是f(x)在I上的极小值点的条件矛盾于是x0是f(x)在I上唯一的极小值点。
若f(x)有异于x0的另一极小值点,x1∈I,不妨设f(x1)≤f(x0),由于f(x)是I上的严格凸函数,对于任何λ∈(0,1),都有f(λx0+(1-λ)x1)<λf(x0)+(1-λ)f(x1)≤f(x0)。于是?δ>0,只要λ充分接近1时,总有x=λx0+(1-λ)x1∈U。(x0;δ)∩I。但是f(x)<f(x0),这与x0是f(x)在I上的极小值点的条件矛盾,于是x0是f(x)在I上唯一的极小值点。
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