已知设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3 向量α1＝(－1 2 －1)T α2＝(0 －1 1)T

正确答案：(1)因为矩阵A的各行元素之和均为3所以 则由特征值和特征向量的定义知λ＝3是矩阵A的特征值α＝(111)^T是对应的特征向量．对应λ＝3的全部特征向量为kα其中k为不为零的常数． 又由题设知Aα₁＝0Aα₂＝0即Aα₁＝0.α₁Aα₂＝0.α₂而且α₁α₂线性无关所以λ＝0是矩阵A的二重特征值α₁α₂是其对应的特征向量对应λ＝0的全部特征向量为k₁α₁＋k₁k₂其中k₁k₂为不全为零的常数． (2)因为A是实对称矩阵所以α与α₁α₂正交所以只需将α₁α₂正交． 取β₁＝α₁。再将αβ₁β₂单位化得令Q＝[η₁η₂η₃则Q^－1＝Q^T由A是实对称矩阵必可相似对角化得
[分析由矩阵A的各行元素之和均为3及矩阵乘法，可得矩阵A的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组Ax＝0有非零解可知A必有零特征值，其非零解是零特征值所对应的特征向量．将A的线性无关的特征向量止交化可得正交矩阵Q．[评注本题涉及求抽象矩阵的特征值和特征向量，此类问题一般用定义求解，因此要想方设法将题设条件转化为特征值与特征向量定义Ax＝λx的形式．