设系统的差分方程为 y(n)一ay(n一1)=x(n)其中 x(n)为输入 y(n)为输出。 (1)

正确答案：(1)当边界条件为y(0)=0时设x(n)=δ(n)且y(0)=0可得y(n)=h(n)=0 (n>0)则原差分方程改写为另一种递推关系 又利用已得出的结果h(n)=0n>0则 因此 这样的系统是非因果系统如果∣a∣＞1则系统是稳定的。 当边界条件为y(一1)=0时设x(n)=δ(n)且y(一1)=0可得n<0时y(n)= h(n)=0。则 h(0)=ah(一1)+1=1 h(1)=ah(0)+0=a h(2)=ah(1)+0=a² … h(n)=ah(n一1)+0=a² 因此 这样的系统是因果系统如果∣a∣＜1则系统是稳定的。 (2)令x₁(n)=δ(n)且y₁(0)=1 则 y₁(1)=ay₁(0)+x₁(1)=a y₁(2)=ay₁(1)+x₁(2)=a² … y₁(n)=ay₁(n一1)+x₁(n)=aⁿ 同样利用 可递推求得 y₁(n)=0 n≤一1 即 y₁(n)=aⁿu(n) 令x₂(n)=δ(n一1)且y₂(0)=1则 y₂(1)=ay₂(0)+x₂(1)=a+1 Y₂(2)=ay₂(1)+x₂(2)=a²+a … y₂(n)=ay₂(n—1)+x₂(n)=aⁿ+a^n—1 同样递推求得 y₂(n)=aⁿn≤一1 即 y₂(n)=aⁿu(n)+a^n—1u(n一1)+aⁿu(一n一1) x₁(n)与x₂(n)为移一位关系但y₁(n)与y₂(n)不是移一位关系因而系统不是移不变系统。 由前面可知 x₁(n)=δ(n) y₁(n)=aⁿu(n) x₂(n)=δ(n一1) y₂(n)=aⁿu(n)+a^n-1u(n一1)+aⁿu(一n一1) 令 x₃(n)=x₁(n)+x₂(n)=δ(n)+δ(n—1)y₃(0)=1 则得 y₃(1)=ay₃(0)+x₃(1)=a+1 y₃(2)=ay₃(1)+x₃(2)=a²+a … y₃(n)=ay₃(n一1)+x₃(n)=aⁿ+a^n-1 同样递推求得 y₃(n)=0 n≤一1 即 y₃(n)=aⁿu(n)+a^n-1u(n一1) 又 y₁(n)+y₂(n)=2aⁿu(n)+a^n-1u(n一1)+aⁿu(一n—1) 所以 y₁(n)+y₂(n)≠y₃(n) 即这个系统不是线性系统。
(1)当边界条件为y(0)=0时设x(n)=δ(n),且y(0)=0,可得y(n)=h(n)=0(n>0),则原差分方程改写为另一种递推关系又利用已得出的结果h(n)=0,n>0,则因此这样的系统是非因果系统,如果∣a∣＞1,则系统是稳定的。当边界条件为y(一1)=0时,设x(n)=δ(n),且y(一1)=0,可得n<0时,y(n)=h(n)=0。则h(0)=ah(一1)+1=1h(1)=ah(0)+0=ah(2)=ah(1)+0=a2…h(n)=ah(n一1)+0=a2因此这样的系统是因果系统,如果∣a∣＜1,则系统是稳定的。(2)令x1(n)=δ(n),且y1(0)=1则y1(1)=ay1(0)+x1(1)=ay1(2)=ay1(1)+x1(2)=a2…y1(n)=ay1(n一1)+x1(n)=an同样利用可递推求得y1(n)=0,n≤一1即y1(n)=anu(n)令x2(n)=δ(n一1),且y2(0)=1,则y2(1)=ay2(0)+x2(1)=a+1Y2(2)=ay2(1)+x2(2)=a2+a…y2(n)=ay2(n—1)+x2(n)=an+an—1同样递推求得y2(n)=an,n≤一1即y2(n)=anu(n)+an—1u(n一1)+anu(一n一1)x1(n)与x2(n)为移一位关系,但y1(n)与y2(n)不是移一位关系,因而系统不是移不变系统。由前面可知x1(n)=δ(n),y1(n)=anu(n)x2(n)=δ(n一1),y2(n)=anu(n)+an-1u(n一1)+anu(一n一1)令x3(n)=x1(n)+x2(n)=δ(n)+δ(n—1),y3(0)=1则得y3(1)=ay3(0)+x3(1)=a+1y3(2)=ay3(1)+x3(2)=a2+a…y3(n)=ay3(n一1)+x3(n)=an+an-1同样递推求得y3(n)=0,n≤一1即y3(n)=anu(n)+an-1u(n一1)又y1(n)+y2(n)=2anu(n)+an-1u(n一1)+anu(一n—1)所以y1(n)+y2(n)≠y3(n)即这个系统不是线性系统。