设函数y(x)具有二阶导数 且曲线l：y＝y(x)与直线y＝x相切于原点．记α为曲线l在点(x y)
设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l：y＝y(x)与直线y＝x相切于原点．记α为曲线l在点(x，y)处切线的倾角，若
，求y(x)的表达式．
请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
参考解答
490***101
2024-11-09 09:48:45
正确答案：[详解1 由题知y(0)＝0y'(0)＝1且由导数的几何意义得
． 等式两边对x求导
。于是
。此方程是不显含x的二阶微分方程令p＝y'则
解之得arctanp＝y＋C1即p＝tan(y＋C1)．由y(0)＝0y'(0)＝1有
。冉解微分方程
。由y(0)＝0得
。所以表达式为
。[详解2 由于 y'＝tana即α＝arctany'所以
由已知条件得
即y”＝y’(1＋y’ 2)。令y'＝p则p'＝p(1＋p2)．分离变量得
两边积分得
由题意y'(0)＝1即当x＝0时p＝1于是得
．故
两边积分得
。由y(0)＝0得
．所以y(x)的表达式为
。
利用导数的几何意义得到微分方程，解方程求出y(x)．
相似问题
已知f(x)的一个原函数为ln2x 则∫xf(x)dx＝_______．请帮忙给出正确答案和分析 谢
已知f(x)的一个原函数为ln2x，则∫xf(x)dx＝_______．请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
有一平底容器 其内侧壁是由曲线x＝ψ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图1—6—1) 容器
有一平底容器，其内侧壁是由曲线x＝ψ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图1—6—1)，容器的底面圆的半径为2m．根据设计要求，当以3m3／min的速率向容
已知某车间的容积为30×30×6m3 车间内空气中CO2的含量为0．12％ 现输入CO2含量为0．0
已知某车间的容积为30×30×6m3，车间内空气中CO2的含量为0．12％，现输入CO2含量为0．04％的新鲜空气，假定新鲜空气进入车间后立即与车间内原有空气均匀
某湖泊的水量为V 每年排人湖泊内含污染物A的污水量为 流入湖泊内不含A的水量为 流出湖泊的水量为．已
某湖泊的水量为V，每年排人湖泊内含污染物A的污水量为，流入湖泊内不含A的水量为，流出湖泊的水量为．已知1999年年底湖中A的含量为5m0，超过国家规定指标
设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中 其侧面满足方程z＝h(t)－(设长度单位为厘米
设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程z＝h(t)－(设长度单位为厘米，时间单位为小时)．已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系
