求微分方程 在方程中如果没有假设g(y)≠0 讨论怎样用分离变量法来求解微分方程．在方程中如果没有假

正确答案：假设所给方程满足解的存在唯一性条件．如果g(y₀)=0则y=y₀显然是所给方程的解．下面假设g(y₀)≠0．设y=φ(x)在区间(ab)上是满足初始条件φ(x₀)=y₀的所给方程的解则故当x∈(ab)时令τ=φ(t)则故y=φ(x)是满足的隐式解． 反之若y=ψ(x)是由上式所确定的隐函数则y=ψ(x)是过(x₀y₀)的所给方程的解．事实上由上式知当a＜x＜b时两边关于x求导即可得所以y=ψ(x)是所给方程的解． 同理可证由等式所确定的函数y=ψ(xC)都是所给方程的解其中C是任意常数． 因此在实际求解中除了求出使g(y)=0的y值来得到方程的特解以外只要再假设g(y)≠0并用分离变量法求解方程得到方程的通解即可．
假设所给方程满足解的存在唯一性条件．如果g(y0)=0,则y=y0显然是所给方程的解．下面假设g(y0)≠0．设y=φ(x)在区间(a,b)上是满足初始条件φ(x0)=y0的所给方程的解,则故当x∈(a,b)时,令τ=φ(t),则故y=φ(x)是满足的隐式解．反之,若y=ψ(x)是由上式所确定的隐函数,则y=ψ(x)是过(x0,y0)的所给方程的解．事实上,由上式知,当a＜x＜b时,两边关于x求导即可得所以y=ψ(x)是所给方程的解．同理可证由等式所确定的函数y=ψ(x,C)都是所给方程的解,其中C是任意常数．因此,在实际求解中除了求出使g(y)=0的y值来得到方程的特解以外,只要再假设g(y)≠0并用分离变量法求解方程得到方程的通解即可．