秩等于n的对称矩阵可以表示成r个秩等于1的对称矩阵之和．请帮忙给出正确答案和分析 谢谢！
秩等于n的对称矩阵可以表示成r个秩等于1的对称矩阵之和．
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参考解答
432***101
2024-11-13 15:38:44
正确答案：由于A为n级对称矩阵且秩为r则存在非奇异矩阵C使得
由此可得A=(CT)-1(A1+A2+…+Ar)C-1=(CT)-1A1C-1+…+(C-1)-1ArC-1其中Ai(i=12…r)为主对角线上第i个元素为αi其余元素全为零的n级方阵显然每个Ai都是秩为1的对称方阵．又由非奇异矩阵的性质可知任何矩阵乘非奇异矩阵秩不变即(CT)-1AiC-1的秩仍为1而且仍为对称阵命题成立．
由于A为n级对称矩阵,且秩为r,则存在非奇异矩阵C,使得由此可得A=(CT)-1(A1+A2+…+Ar)C-1=(CT)-1A1C-1+…+(C-1)-1ArC-1其中Ai(i=1,2,…,r)为主对角线上第i个元素为αi,其余元素全为零的n级方阵,显然每个Ai都是秩为1的对称方阵．又由非奇异矩阵的性质可知,任何矩阵乘非奇异矩阵秩不变,即(CT)-1AiC-1的秩仍为1,而且仍为对称阵,命题成立．
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