设函数y(x)(x≥0)二阶可导 且y(x)＞0 y(0)＝1_过曲线y＝y(x)上任意一点P(x

正确答案：曲线y＝y(x)在点P(xy)处的切线方程为 Y—y＝y'(x—x)它与x轴的交点为．由于y'(x)＞0y(0)＝1因此y(x)＞0(x＞0)于是又 S₂＝∫₀^xy(t)dt．根据已知条件2S₁－S₂＝1有代入y(0)＝1有y'(0)＝1．方程两边对x求导并化简得 yy'＝y'²这是可降阶方程．令P＝y'则方程化为分离变量得两边积分得P＝C₁y即y'＝C₁y代入初始条件y(0)＝1y'(0)＝1得 C₁＝1有两边积分得y＝C₂e^x代入y(0)＝1得C₁＝1因此所求曲线的方程为y＝e^x．
[分析首先根据微积分的几何意义，求出S1和S2，然后由关系式2S1－S2＝1得到一含有变限积分的函数方程问题，对方程两边求导，转化为微分方程问题．[评注1本题将曲线切线问题、平面图彤的面积问题、含变限积分的函数方程问题以及微分方程问题综合起来，有一定的难度与计算量．[评注2本题不是直接给出含变限积分的函数方程问题，而是由变化区间[0，x上的面积用变限积分S2＝∫0xy(t)dt表示，转化为含有变限积分的函数方程问题．类似地，由变化区间上的体积、弧长等定积分的应用问题，也可以转化为含有变限积分的函数方程问题．