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设位于第一象限的曲线y＝f(x)过点
，其上任一点P(x，y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分． (1)求曲线y＝f(x)的方程； (2)已知曲线y＝sinx在[0，π]上的弧长为l，试用，表示曲线y＝f(x)的弧长s．
请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
参考解答
413***101
2024-11-09 07:28:54
正确答案：(1)曲线y＝f(x)在点尸(xy)处的法线方程为
其中(XY)为法线上任意一点的坐标．令X＝0则
故Q点的坐标为
．由题设知
即2ydy＋xdx＝0．积分得 x2＋2y2＝C(C为任意常数)．由
知C＝1故曲线y＝f(x)的方程为 x2＋2y2＝1．(2)曲线y＝sinx在[0π上的弧长为
曲线y＝f(x)的参数方程为
故
令
则
[分析(1)先求出法线方程与交点坐标Q，再由题设线段PQ被x轴平分，可转化为微分方程，求解此微分方程即可得曲线y＝f(x)的方程．(2)将曲线y＝f(x)化为参数方程，再利用弧长公式进行计算即可．[评注注意：只在第一象限考虑曲线y＝f(x)的弧长，所以积分限应从0到，而不是从0到2π．
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