若y1 y2是二阶非齐次线性微分方程(1)的两个不同的特解 证明： y〞＋P(x)yˊ＋Q(x)y＝

正确答案：证： 设微分方程为y〞＋P(x)yˊ＋Q(x)y＝f(x)． (1)因为y₁y₂是方程的特解则有 y〞₁＋P(x)yˊ₁＋Q(x)y₁＝f(x) ① y〞₂＋P(x)yˊ₂＋Q(x)y2＝f(x) ② 假定y₁y2线性相关则y₁／y₂＝kk为常数将y₁＝ky₂代入①式 k[y〞₂＋P(x)yˊ₂＋Q(x)y₂＝f(x)＝kf(x)f(x)≠0故k＝1y₁＝y₂与已知矛盾所以y₁y₂是线性无关的． (2)y₁y₂是非齐次方程的解且y₁≠y₂则y₁－y₂是对应齐次方程即y〞＋P(x)yˊ＋Q(x)y＝0的一个解 y＝λy₁＋(1－λ)y₂＝λ(y₁－y₂)＋y₂由非齐次方程解的结构知y＝λy₁＋(1－λ)y₂是y〞＋P(x)＋Q(x)y＝f(x)的解．
证：设微分方程为y〞＋P(x)yˊ＋Q(x)y＝f(x)．(1)因为y1,y2是方程的特解,则有y〞1＋P(x)yˊ1＋Q(x)y1＝f(x),①y〞2＋P(x)yˊ2＋Q(x)y2＝f(x),②假定y1,y2线性相关,则y1／y2＝k,k为常数,将y1＝ky2代入①式,k[y〞2＋P(x)yˊ2＋Q(x)y2＝f(x)＝kf(x),f(x)≠0,故k＝1,y1＝y2与已知矛盾,所以y1,y2是线性无关的．(2)y1,y2是非齐次方程的解,且y1≠y2,则y1－y2是对应齐次方程,即y〞＋P(x)yˊ＋Q(x)y＝0的一个解y＝λy1＋(1－λ)y2＝λ(y1－y2)＋y2,由非齐次方程解的结构知y＝λy1＋(1－λ)y2是y〞＋P(x)＋Q(x)y＝f(x)的解．