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设曲面M：x(u，v)=(ucosv，usinv，lnu)与考察参数区域为上半平面D={(x，y)｜y>0}，而其第1基本形式为
考察参数区域为上半平面D={(x，y)｜y>0}，而其第1基本形式为
并称这个度量为Poincae度量．证明：它的测地线为正交于x轴的上半平面的半圆或半直线(即平行y轴的半直线)．
请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
参考解答
406***102
2024-11-17 02:44:50
正确答案：有
测地线方程：
即
记x(s)=(x(s)y(s))为测地线它的单位切向量为
解得ξ1=cy．代入(ξ1)2+(ξ2)2=1有
令
就得到
以及(ξ1)2+(ξ2)2=1知ξ1=sin t．因此
于是
此外当
时x=a(常数)也为解．由此测地线为圆心在x轴上的上半圆和与y轴平行的上半直线(它们都是与x轴正交的曲线)．
有测地线方程：即记x(s)=(x(s),y(s))为测地线,它的单位切向量为解得ξ1=cy．代入(ξ1)2+(ξ2)2=1,有令,就得到以及(ξ1)2+(ξ2)2=1,知ξ1=sint．因此于是此外,当时,x=a(常数)也为解．由此,测地线为圆心在x轴上的上半圆和与y轴平行的上半直线(它们都是与x轴正交的曲线)．
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